1. หัวข้อหลักของอิสระภาพ
เราให้ความสำคัญเป็นหลักกับ ระบบที่เป็นอิสระ. ระบบที่มีลักษณะว่า $F$ และ $G$ ในสมการ (1) ไม่ขึ้นอยู่กับตัวแปรอิสระ $t$ เรียกว่า ระบบอิสระ ความเป็นอิสระนี้ทำให้เราสามารถตีความเส้นทางการเคลื่อนที่ (trajectory) ว่าเป็นเส้นทางถาวรในระนาบเฟสที่คงที่
สำหรับระบบที่เป็นอิสระใด ๆ $\mathbf{x}' = \mathbf{f}(\mathbf{x})$ จะมีคำตอบเดียวที่เป็นไปตามเงื่อนไข $\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0$ ในระนาบเฟส สิ่งนี้รับประกันว่า เส้นทางการเคลื่อนที่ไม่เคยตัดกัน; เส้นทางถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์โดยสถานะปัจจุบัน ไม่ใช่เวลาที่คุณมาถึง
2. บรรทัดฐานเชิงเส้นเทียบกับความจริงที่ไม่เป็นเชิงเส้น
ในระบบที่เป็นเชิงเส้น $\mathbf{x}' = \mathbf{Ax}$ จุดกำเนิดมักจะเป็นจุดสมดุลเพียงจุดเดียว ซึ่งควบคุมโดยดีเทอร์มิแนนต์ $q = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$ และเทรซ อย่างไรก็ตาม ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้นถูกกำหนดโดย จุดวิกฤติ—ตำแหน่งที่ด้านขวาของสมการเป็นศูนย์ จุดที่สำคัญที่สุดคือ จุดอันตราย คืออาจมีจุดวิกฤติหลายจุด หรือมากกว่านั้น ที่แข่งขันกันเพื่อส่งผลต่อเส้นทางการเคลื่อนที่
ตัวอย่าง: ลูกตุ้มที่ไม่เป็นเชิงเส้น
แตกต่างจากระบบที่เป็นเชิงเส้นที่มีคาบคงที่ คาบ $T$ ของลูกตุ้มที่ไม่เป็นเชิงเส้นขึ้นอยู่กับขนาดคลื่น แสดงผ่านอินทิกรัลเอลลิปติก:
$$T = 4\sqrt{\frac{L}{g}} \int_{0}^{\pi/2} \frac{d\phi}{\sqrt{1 - k^2 \sin^2 \phi}}$$
3. ความมั่นคงและความเห็นของลีอาปูโนฟ
เพื่อวิเคราะห์จุดเหล่านี้โดยไม่ต้องแก้สมการ เราใช้ ฟังก์ชันลีอาปูโนฟ. ให้ $V$ นิยามบนโดเมน $D$ ที่มีจุดกำเนิดอยู่ภายใน จากนั้น $V$ จะเรียกว่าเป็นบวกเฉพาะ (positive definite) บน $D$ หาก $V(0, 0) = 0$ และ $V(x, y) > 0$ สำหรับจุดอื่น ๆ ทั้งหมดใน $D$
เมื่อขยายไปยังมิติสาม มิติ เราจะพบเมทริกซ์ลอเรนซ์:
$$\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}' = \begin{pmatrix} -10 & 10 & 0 \\ 1 & -1 & -\sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} \\ \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & \sqrt{\frac{8}{3}(r-1)} & -\frac{8}{3} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}$$